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<!DOCTYPE html>

<title>Inkreis</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Inkreis</h1>

</header>

</div>

Der Inkreis eines <a href="Polygon" title="Polygon">Polygons</a> (Vielecks) in der <a href="Euklidische_Ebene" class="mw-redirect" title="Euklidische Ebene">euklidischen Ebene</a> ist der <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreis</a>, der alle Seiten des Polygons in seinem Inneren berührt. Er <a href="Ber%C3%BChrung_(Mathematik)" title="Berührung (Mathematik)">berührt</a> die Strecken zwischen den <a href="Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkten</a> und nicht ihre Verlängerungen. Gleichzeitig ist er der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle <a href="Winkelhalbierende" title="Winkelhalbierende">Winkelhalbierenden</a> der <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.

Existiert der Inkreis eines Polygons mit <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <a href="Umfang_(Geometrie)" title="Umfang (Geometrie)">Umfang</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy">, so hat der Inkreisradius den Wert

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {2A}{u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1e8a36259af623f865d9ca6267bc690a8c4a1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.889ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {2A}{u}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inkreis_eines_Dreiecks">Inkreis eines Dreiecks</h2></div>

Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der <a href="Dreiecksgeometrie" title="Dreiecksgeometrie">Dreiecksgeometrie</a>. Jedes <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieck</a> besitzt einen Inkreis, sein <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt (die Seite wird somit eine <a href="Kreistangente" title="Kreistangente">Kreistangente</a> des Inkreises), so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.

Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\angle BAC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\angle BAC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/515c3f5635fd6b3b576892ac7ab2951b34971d5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.538ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\angle BAC}" loading="lazy"> haben den gleichen Abstand von den Seiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [AB]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [AB]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.801ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [AB]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [CA]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [CA]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45d1cad430fbae09064e436319693c011c68a748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [CA]}" loading="lazy">. Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =\angle CBA}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\angle CBA}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b6b09dd7f7b2019aab1cfa0c7aa393343125352.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.382ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =\angle CBA}" loading="lazy"> den gleichen Abstand von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [BC]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [BC]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd2ee765006b05ac0001c01a206871306f108cbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [BC]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [AB]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [AB]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.801ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [AB]}" loading="lazy">. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [AB]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [AB]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.801ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [AB]}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [BC]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [BC]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd2ee765006b05ac0001c01a206871306f108cbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [BC]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [CA]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [CA]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45d1cad430fbae09064e436319693c011c68a748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [CA]}" loading="lazy">) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen – im Gegensatz zu den drei <a href="Ankreis" title="Ankreis">Ankreisen</a>, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.

Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den <a href="Ausgezeichnete_Punkte_im_Dreieck" title="Ausgezeichnete Punkte im Dreieck">ausgezeichneten Punkten</a> des Dreiecks. Er trägt die <a href="Kimberling-Nummer" class="mw-redirect" title="Kimberling-Nummer">Kimberling-Nummer</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f70b2694445a5901b24338a2e7a7e58f02a72a32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Radius">Radius</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> der <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des Dreiecks mit den Seiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">, so berechnet sich der <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> des Inkreises durch

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {A}{s}}={\frac {2A}{a+b+c}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6be158e9088a6841e513450d4400600563caab65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:46.289ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {A}{s}}={\frac {2A}{a+b+c}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {u}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a18642bc6e59f994bd8ac17f222bb7ac88724aa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.204ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {u}{2}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei wurde für die Berechnung des Flächeninhalts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> des Dreiecks die Formel aus dem <a href="Satz_des_Heron" title="Satz des Heron">Satz des Heron</a> verwendet.

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {b}{\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {c}{\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1e303e25b0a1e31710b77f84fa844d061499193.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:64.83ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {b}{\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {c}{\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koordinaten">Koordinaten</h3></div>

Die <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinaten</a> des Inkreis-Mittelpunktes berechnen sich als das mit den Seitenlängen der gegenüberliegenden Seiten gewichtete Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Wenn sich die drei Eckpunkte bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{A}/y_{A})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{A}/y_{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/607986956c154c254dc14e7b34fd72292dc49b91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.37ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{A}/y_{A})}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{B}/y_{B})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{B}/y_{B})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c1a5fb8b2070e247f66f41d13491c20203724ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{B}/y_{B})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{C}/y_{C})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{C}/y_{C})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54e7af4fe336120104f7beaa00fd5af831dccf6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.403ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{C}/y_{C})}" loading="lazy"> befinden, und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten die Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> haben, dann befindet sich der Inkreis-Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I(x_{I}/y_{I})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(x_{I}/y_{I})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed54799f4de44b66aa2517560a114c08a104a2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I(x_{I}/y_{I})}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}}/{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}}/{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb5ad4bb0ac19dc5d32f6c883e6c4d73faade04e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.344ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}}/{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}\right)}" loading="lazy">.

<a href="Baryzentrische_Koordinaten" title="Baryzentrische Koordinaten">Baryzentrische Koordinaten</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a:b:c)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a:b:c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b8632e22a05145224ef6e5a8d85fa6003843c5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.918ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a:b:c)}" loading="lazy"><a href="#cite_note-ETC-1">[1]</a>

<a href="Trilineare_Koordinaten" title="Trilineare Koordinaten">Trilineare Koordinaten</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1:1:1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1:1:1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c8503c34e46b515c671b4ae950d73dcc3d9722f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.171ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1:1:1)}" loading="lazy"><a href="#cite_note-ETC-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Eigenschaften">Weitere Eigenschaften</h3></div>

<ul><li>Die Entfernung zwischen der Ecke A und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s-a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af868ad2a8becbb30c5e9df946d582780db3eba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.161ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s-a}" loading="lazy">; dabei bedeutet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken B und C.</li>

<li>Die <a href="Verbindungsgerade" title="Verbindungsgerade">Verbindungsgeraden</a> der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem <a href="Gergonne-Punkt" title="Gergonne-Punkt">Gergonne-Punkt</a>.</li>

<li>Der <a href="Satz_vom_Dreizack" title="Satz vom Dreizack">Satz vom Dreizack</a> stellt einen Zusammenhang zwischen <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a> und Inkreis her.</li>

<li>In jedem Dreieck ist das Produkt aus seinem <a href="Kreis#Umfang" title="Kreis">Umfang</a> und seinem Inkreisradius doppelt so groß wie seine Fläche (siehe Figur 1),<a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> was – wie in der Einleitung bereits festgestellt – für jedes <a href="Tangentenvieleck" title="Tangentenvieleck">Tangentenvieleck</a> gilt.</li>

<li>Ist in einem nicht-gleichseitigen Dreieck die <a href="Grundseite" title="Grundseite">Grundseitenlänge</a> das <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetische Mittel</a> der beiden übrigen Seitenlängen, so ist die Verbindungsgerade zwischen dem <a href="Geometrischer_Schwerpunkt" title="Geometrischer Schwerpunkt">Schwerpunkt</a> und dem Inkreismittelpunkt <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallel</a> zur Grundseite (Figur 2).</li></ul>

<dl><dd>Beweis:</dd>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}+{\overline {W_{c}B}}={\frac {a+b}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b2c522cbda95f73e30893809ffc01018f68bebd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.856ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}+{\overline {W_{c}B}}={\frac {a+b}{2}}}" loading="lazy"> (arithmetisches Mittel) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}:{\overline {W_{c}B}}=b:a}">

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}:{\overline {W_{c}B}}=b:a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bfa432322c2a836aa3c84d0d368d2a6c15f2da3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.213ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}:{\overline {W_{c}B}}=b:a}" loading="lazy"> (<a href="Winkelhalbierendensatz_(Dreieck)" title="Winkelhalbierendensatz (Dreieck)">Winkelhalbierendensatz</a>) folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}={\frac {b}{2}}}">

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}={\frac {b}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/109d9a42992d57261c9b0695ae2aefa2326651c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.093ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AW_{c}}}={\frac {b}{2}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {W_{c}B}}={\frac {a}{2}}}">

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {W_{c}B}}={\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e466751a3b058641a204bab50d243eb9903b540.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.181ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {W_{c}B}}={\frac {a}{2}}}" loading="lazy">.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AI}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f0946809070cecaa3396933134138b44366bb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.915ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AI}" loading="lazy"> eine Winkelhalbierende im Teildreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AW_{c}C}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AW_{c}C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bda8f03107758aa43866595904b22a16acbd963f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.647ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle AW_{c}C}" loading="lazy"> ist, gilt hier nach dem Winkelhalbierendensatz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CI}}:{\overline {IW_{c}}}=b:a=2:1}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CI}}:{\overline {IW_{c}}}=b:a=2:1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5139625958332ae435dead1bd20eaf124c105d58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.135ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CI}}:{\overline {IW_{c}}}=b:a=2:1}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Da ferner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> die Seitenhalbierende im Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABC}" loading="lazy"> ebenfalls im Verhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2:1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2:1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8b7f6da2bff48470ac96115b5c5d665f00b46a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2:1}" loading="lazy"> teilt, gilt nach der Umkehrung des ersten <a href="Strahlensatz" title="Strahlensatz">Strahlensatzes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle IS||AB}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle IS||AB}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90a2681d39ba7985ab7532882dff9cb91dd69208.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle IS||AB}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-4">[4]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inkreis_eines_rechtwinkligen_Dreiecks">Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks</h3></div>

Liegt speziell ein <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkliges Dreieck</a> in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.<a href="#cite_note-CA-RBN-I-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Radius_des_Inkreises">Radius des Inkreises</h4></div>

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a> der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> folgende Gleichungen angeben:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}={\frac {ab}{2s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aea44b3129656279f35a606e4d3e12f3e71bd53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.086ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}={\frac {ab}{2s}}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}=s-c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb1442633c81efdb9547feb61eae732c42c9a837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.934ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}=s-c}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck. Mit Hilfe von Figur 3 ergibt sich

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=r(a+b+c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ac41c4a88d9521c9e3e18d0065dda6312ad52cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.099ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ab=r(a+b+c)}" loading="lazy">,</dd></dl>

woraus unmittelbar die erste Behauptung folgt.

In Figur 4 lässt sich

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=(a-r)+(b-r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d409b91ff3375ec730512d5ad4fa4f6c39aa5631.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.57ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c=(a-r)+(b-r)}" loading="lazy"></dd></dl>

ablesen. Durch einfache Umformung erhält man sofort die zweite Behauptung.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Flächenformel">Flächenformel</h4></div>

Der <a href="Tangentialpunkt" class="mw-redirect" title="Tangentialpunkt">Tangentialpunkt</a>, in dem die Hypotenuse den Inkreis <a href="Ber%C3%BChrung_(Mathematik)" title="Berührung (Mathematik)">berührt</a>, zerlegt diese in die Teil<a href="Strecke_(Geometrie)#Eigenschaften" title="Strecke (Geometrie)">strecken</a> mit den Längen

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=s-a=b-r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ed66f6ec1d257b28f04efa5463da8a2b40e8f8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.574ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x=s-a=b-r}" loading="lazy"></dd></dl>

und

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=s-b=a-r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dae215fab20db1d470ad1f8948804e24ddf89fe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=s-b=a-r}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit gilt dann für auf den Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> des rechtwinkligen Dreiecks

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}=(s-a)\cdot (s-b)=(a-r)\cdot (b-r)=x\cdot y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c54b58839374470f05b3e02bd4a642b095ce1f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:53.734ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}=(s-a)\cdot (s-b)=(a-r)\cdot (b-r)=x\cdot y}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inkreise_anderer_Vielecke">Inkreise anderer Vielecke</h2></div>

Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

<a href="Viereck" title="Viereck">Vierecke</a>, die einen Inkreis besitzen, heißen <a href="Tangentenviereck" title="Tangentenviereck">Tangentenvierecke</a>. Zu ihnen gehören alle <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexen</a> <a href="Drachenviereck" title="Drachenviereck">Drachenvierecke</a>, insbesondere alle <a href="Raute" title="Raute">Rauten</a>, also auch alle <a href="Quadrat_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Quadrat (Geometrie)">Quadrate</a>.

<a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">Regelmäßige Polygone</a> haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-Ecks mit der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> gilt:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{2}}\cot {\tfrac {180^{\circ }}{n}}={\frac {a}{2\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2a6b5bb0e01d2af33ea5a4d01e01d01e44708d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:27.585ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{2}}\cot {\tfrac {180^{\circ }}{n}}={\frac {a}{2\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a></li>

<li><a href="Ankreis" title="Ankreis">Ankreis</a></li>

<li><a href="Kreise_am_Dreieck" title="Kreise am Dreieck">Kreise am Dreieck</a></li>

<li><a href="Inkugel" title="Inkugel">Inkugel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: <cite style="font-style:italic">Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik</cite>. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Inkreis&rft.au=Claudi+Alsina%2C+Roger+B.+Nelsen&rft.btitle=Bezaubernde+Beweise.+Eine+Reise+durch+die+Eleganz+der+Mathematik&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=9783642347924&rft.place=Berlin+%28u.+a.%29&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none"> </li>

<li><a href="Harold_Scott_MacDonald_Coxeter" title="Harold Scott MacDonald Coxeter">H. S. M. Coxeter</a>, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.</li>

<li><a href="Max_Koecher" title="Max Koecher">Max Koecher</a>, <a href="Aloys_Krieg" title="Aloys Krieg">Aloys Krieg</a>: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Inkreis" class="extiw external" title="wikt:Inkreis">Wiktionary: Inkreis</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Incircle.html">Incircle.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.walter-fendt.de/html5/mde/incircle_de.htm">Walter Fendt: Inkreis eines Dreiecks wird Schritt für Schritt gezeichnet</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/mdl004vs.htm">Der Inkreis beim Dreieck.</a> In: dwu-Unterrichtsmaterialien.de. Abgerufen am 13. Januar 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AInkreis&rft.title=Der+Inkreis+beim+Dreieck&rft.description=Der+Inkreis+beim+Dreieck&rft.identifier=https%3A%2F%2Fdwu-unterrichtsmaterialien.de%2Fmdl004vs.htm"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-ETC-1">↑ <a href="#cite_ref-ETC_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-ETC_1-1">b</a> Clark Kimberling: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#Incenter">Enyclopedia of Triangle Centers.</a> Abgerufen am 14. Januar 2025 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AInkreis&rft.title=Enyclopedia+of+Triangle+Centers&rft.description=Enyclopedia+of+Triangle+Centers&rft.identifier=https%3A%2F%2Ffaculty.evansville.edu%2Fck6%2Fencyclopedia%2FETC.html%23Incenter&rft.creator=Clark+Kimberling&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 29.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Grace Lin: Proof without Words: The Product of the Perimeter of a Triangle and Its Inradius Is Twice the Area of the Triangle. <a href="Mathematics_Magazine" title="Mathematics Magazine">Mathematics Magazine</a>, Band 72, Nr. 4 (Oktober 1999), S. 317 <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307/2691229">10.2307/2691229</a>.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Eckard Specht, Erhard Quaisser, Patrick Bauermann (Hrsg.): 50 Jahre Bundeswettbewerb Mathematik - Die schönsten Aufgaben Zweite, erweiterte Auflage, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2020, ISBN 978-3-662-61165-4, S. 35–36

</li>

<li id="cite_note-CA-RBN-I-5"><a href="#cite_ref-CA-RBN-I_5-0">↑</a> Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 89–90.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 28.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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